Convergence uniforme (série de fonctions)

Définition

Définition :
On dira que la série de fonctions $S=\sum^{+\infty}_{n=0}f_n$ converge uniformément sur $X$ si la convergence de cette suite de fonctions $S_N=\sum^N_{n=0}f_n\longrightarrow S$ est uniforme sur $X$

(Convergence uniforme (suite de fonctions))

Caractérisation

Pour étudier la convergence uniforme d'une série de fonctions, il s'agit de prouver que $$\varepsilon_N=\sup_{x\in X}\lvert R_N(x)\rvert=\sup_{x\in X}\left|S(x)-\sum^N_{n=0}f_n(x)\right|$$ est une suite qui tend vers $0$

(Borne supérieure)

Propriétés

Théorème d’échange des limites

Continuité de la limite uniforme

Proposition :
On se donne une série $S=\sum^{+\infty}_{n=0}f_n$ de fonctions $f_n:X\to{\Bbb R}$
On suppose $X\subset{\Bbb R}$ et on se donne $x_0\in X$
Si chaque $f_n$ est continue en $x_0$ et que la convergence de $S$ est uniforme au moins sur un voisinage de $x_0$, alors la somme est également continue en $x_0$

(Continuité)

Intégration

Théorème d'intégration des limites uniformes :
On se donne une série $S=\sum^{+\infty}_{n=0}f_n$ de fonctions $f_n:X\to{\Bbb R}$
On suppose $X=[a,b]$, les $f_n$ continues (éventuellement par morceaux) et la convergence de $S$ uniforme sur $[a,b]$
Alors : $$\int^b_a\underbrace{\left(\sum^{+\infty}_{n=0}f_n(x)\right)}_{=f(x)}\,dx=\sum^{+\infty}_{n=0}\int^b_af_n(x)\,dx$$

Convergence uniforme via la dérivée

Proposition :
On se donne une série $g=\sum^{+\infty}_{n=0}g_n$ de fonctions $g_n:I\to{\Bbb R}$ de classe $\mathcal C^1$ (par morceaux)
On suppose que la série $g(x_0)=\sum^{+\infty}_{n=0}g_n(x)$ converge et que la série $f=\sum^{+\infty}_{n=0}g_n'(x)$ converge uniformément sur $I$
Alors la série $g=\sum^{+\infty}_{n=0}g_n$ converge uniformément en $I$ et sa somme définit une fonction $f:I\to{\Bbb R}$ de classe $\mathcal C^1$ (par morceaux) et on a $$g'=\sum^{+\infty}_{n=0}g'_n$$

Exercices

Consigne:
1. Montrer que la série de fonctions $$S(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}\exp(-x^2\sqrt n)$$ converge simplement sur ${\Bbb R}^*$
2. Montrer qu'elle converge normalement sur tout domaine $]-\infty,-a]\cup[a,+\infty[$, pour un paramètre $a\gt 0$
3. En déduire que la somme de cette série définit une fonction continue sur ${\Bbb R}^*$
4. La convergence peut-elle être uniforme sur ${\Bbb R}^*$ ? Indication : on utilisera que le reste de cette série vérifie $R_N(x)=\sum^{+\infty}_{n=N+1}\exp(x^2\sqrt n)\geqslant\exp(-x^2\sqrt{N+1})$, pour tout $x\in{\Bbb R}^*$

1° : convergence simple : croissances comparées $\to$ séries de Riemann
- Pour $x=1$, on a $S(1)=\sum^{+\infty}_{n=0}e^{-\sqrt n}$. $n^2e^{-\sqrt n}{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}0$ par croissances comparées, donc il existe $C$ tel que $e^{-\sqrt n}\leqslant\frac C{n^2}$ et donc $f(1)$ converge par comparaison avec une série de Riemann convergente
- Pour $x\ne1$, on fait le changement de variable $t=x^2\sqrt n$. On a donc $t^4e^{-t}\underset{t\to+\infty}\longrightarrow0$, et donc il existe $C$ tel que $e^{-t}\leqslant\frac C{t^4}$ et $S(x)$ converge pour $x\ne0$ (il y a une division par $0$)
- Pour $x=0$, $S(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}1=+\infty$

$S(x)$ converge donc simplement $\forall x\in{\Bbb R}^*$

2° : convergence normale : chercher un majorant
Soit $n\geqslant0$
$$\begin{align}\sup_{\lvert x\rvert\geqslant a}\lvert f_n(x)\rvert&=\sup_{\lvert x\rvert\geqslant a}e^{-x^2\sqrt n}\\ &=\sup_{x\geqslant a}e^{-x^2\sqrt n}\\ &=e^{-a^2\sqrt n}\end{align}$$
$\sum^{+\infty}_{n=0}\sup_{\lvert x\rvert\geqslant a}\lvert f_n(x)\rvert$ converge donc (même justification que dans 1°), donc la série converge normalement, et donc uniformément sur $]-\infty,-a]\,\cup\,[a,+\infty[$

3° : continuité : propriété de la convergence uniforme
$S$ est continue sur ${\Bbb R}^*$ si et seulement si $S$ est continue en tout point $x_0\in{\Bbb R}$ ("propriété locale")
Soit $x_0\in{\Bbb R}^*$. Prenons $a=\frac{\lvert x_0\rvert}2$
$S$ converge uniformément sur $]-\infty,-a]\cup[a,+\infty[$ et les $f$ sont continues
Donc $S$ est continue sur $]-\infty,-a]\cup[a,+\infty[$ et en particulier en $x_0$

4° pas de convergence uniforme : minorer par qqch qui ne tend pas vers $0$ quand $n\to+\infty$

$$\begin{align}\lvert R_N(x)\rvert&=R_N(x)=\sum^{+\infty}_{n=N+1}e^{-x^2\sqrt n}\\ &\geqslant e^{-x^2\sqrt{N+1}}\\ \\ \implies \sup_{x\in{\Bbb R}^*}\lvert R_n(x)\rvert&\geqslant\sup_{x\gt 0} e^{-x^2\sqrt{N+1}}\\ &=1{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}1\ne0\end{align}$$ il n'y a donc pas de convergence uniforme sur ${\Bbb R}^*$

(Série convergente)

Consigne:
1. Montrer que la série de fonctions $$S(x)=\sum^{+\infty}_{n=1}\frac x{1+n^2x^2}$$ converge simplement sur ${\Bbb R}$
2. Prouver que la série $S(x)$ converge normalement sur $]-\infty,-a]\cup[a,+\infty[$, pour tout $a\gt 0$
3. En déduire que $x\mapsto S(x)$ définie une fonction continue sur ${\Bbb R}^*$
4. Que peut-on également déduire du résultat obtenu quant à $\lim_{x\to\pm\infty}S(x)$ ?

1° : th des équivalents
$$f_n(x)=\frac x{1+n^2x^2}=\frac1{x^2}\frac1{\frac1{x^2}+n^2}\sim\frac1{x^2}\frac1{n^2}$$ la série est donc convergente simplement par le théorème des équivalents

2° : recherche de majorant (maximum de $f_n$ dans $]-\infty,-a]\cup[a,+\infty[$)
Soit $n\geqslant1$. $\sup_{\lvert x\rvert\geqslant a}\lvert f_n(x)\rvert=\sup_{\lvert x\rvert\geqslant a}\frac{\lvert x\rvert}{1+n^2x^2}$ $$f^\prime_n(x)=\frac{1+n^2x^2-2n^2x^2}{(1+n^2x^2)^2}=\frac{1-n^2x^2}{(1+n^2x^2)^2}=0\iff \lvert x\rvert=\frac1n$$
- Pour $n\geqslant1$ tel que $\frac1n\geqslant a$, on a : $$\sup_{\lvert x\rvert\geqslant a}\lvert f_n(x)\rvert=\sup_{x\geqslant a}f_n(x)=f_n\left(\frac1n\right)=\frac1{2n}$$
- Pour $n\geqslant1$ tel que $\frac1n\lt a$, on a : $$\sup_{\lvert x\rvert\geqslant a}\lvert f_n(x)\rvert=\sup_{x\geqslant a}f_n(x)=f_n(a)=\frac a{1+(na)^2}$$

Étude de la convergence de la somme des $\sup$
$$\sum\sup_{\lvert x\rvert\geqslant a}f_n(x)=\underbrace{\sum^{E(1/a)}_{n=1}\frac1{2n}}_{\text{somme finie}}+\underbrace{\sum_{n\gt E(1/a)}\frac a{1+(na)^2}}_{\text{CV}}$$
La série converge donc normalement sur $]-\infty,-a]\cup[a,+\infty[$

3° : continuité : propriété de la convergence uniforme
$S$ est continue sur ${\Bbb R}^*$ si et seulement si $S$ est continue en tout point $x_0\in{\Bbb R}$ ("propriété locale")
Soit $x_0\in{\Bbb R}^*$. Prenons $a=\frac{\lvert x_0\rvert}2$
$S$ converge uniformément sur $]-\infty,-a]\cup[a,+\infty[$ et les $f$ sont continues
Donc $S$ est continue sur $]-\infty,-a]\cup[a,+\infty[$ et en particulier en $x_0$

Théorème d'échange des limites

Puisque la convergence est uniforme et que chaque $f_n$ a une limite quand $x\to\pm\infty$, on a : $$\begin{align}\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sum^{+\infty}_{n=1}\frac x{1+(xn)^2}=\sum^{+\infty}_{n=1}\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac1{\frac1x+n^2x}=\sum^{+\infty}_{n=1}0=0\\ \displaystyle\lim_{x\to-\infty}\sum^{+\infty}_{n=1}\frac x{1+(xn)^2}=\sum^{+\infty}_{n=1}\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac1{\frac1x+n^2x}=\sum^{+\infty}_{n=1}0=0\end{align}$$

(Théorème d’échange des limites)

Consigne: La série de fonctions $S(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}2nxe^{-nx^2}$ converge simplement sur $[0,+\infty[$ et normalement sur $[a,+\infty[$ pour $a\gt 0$ fixé
Déterminer l'intégrale $$I_n(x)=\int^x_12nte^{-nt^2}\,dt$$ la somme $I(x)=\sum^{+\infty}_{n=0}I_n(x)$ et en déduire la valeur de $S(x)$ pour $x\gt 0$

Calcul de l'intégrale : elle est de la forme $\int^b_a u^\prime e^u$
$$I_n(x)=\left[-e^{-nt^2}\right]^x_1=e^{-n}-e^{-nx^2}$$

Application du théorème de dérivation des limites uniformes
Soit $a\gt 0$
Appliquons le théorème sur $]a,+\infty[$ : $$\left.\begin{array}{l}\displaystyle\sum^\infty_{n=0}I_n(x)\text{ converge vers }I(x)\quad\forall x\gt a\\ \displaystyle\sum^{\infty}_{n=0}I^\prime_n(x)\text{ CVU sur }]a,+\infty[\end{array}\right\}\implies I\in\mathcal C^1(]a,+\infty|)\quad\text{ et }\quad I^\prime(x)=\sum^\infty_{n=0}I^\prime_n(x)$$

Faire le lien avec $S(x)$
$$\begin{align} S(x)&=\sum^\infty_{n=0}2nxe^{-nx^2}\\ I(x)&=\sum^\infty_{n=0}I_n(x)\\ I^\prime(x)&=\left(\sum^\infty_{n=0}I_n(x)\right)^\prime\\ &\overset{\text{Thm}}=\sum^\infty_{n=0}I^\prime_n(x)\\ &=\sum^\infty_{n=0}f_n(x)\\ &=S(x)\end{align}$$

Calculer $S(x)$ pour $x\gt 0$

$$\begin{align} I(x)&=\frac1{1-e^{-1}}-\frac1{1-e^{-x^2}}\\ S(x)&=I^\prime(x)=\frac{2xe^{-x^2}}{(1-e^{-x^2})^2}\quad\text{ pour }\quad x\gt 0\end{align}$$

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